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<!DOCTYPE html>

<title>Larmorpräzession</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Larmorpräzession</span></h1>

</header>

</div>

<p><b>Larmorpräzession</b> (nach dem irischen <a href="Physiker" title="Physiker">Physiker</a> <a href="Joseph_Larmor" title="Joseph Larmor">Joseph Larmor</a>) ist die <a href="Pr%C3%A4zession" title="Präzession">Präzession</a> des <a href="Drehimpuls" title="Drehimpuls">Drehimpulses</a> eines <a href="Teilchen" title="Teilchen">Teilchens</a> mit <a href="Magnetisches_Dipolmoment" title="Magnetisches Dipolmoment">magnetischem Dipolmoment</a> um die Richtung eines äußeren <a href="Magnetismus" title="Magnetismus">Magnetfelds</a>. Bei <a href="Atom" title="Atom">Atomen</a> ist sie insbesondere durch die vom Magnetfeld verursachte Aufspaltung von <a href="Spektrallinie" title="Spektrallinie">Spektrallinien</a>, den <a href="Zeeman-Effekt" title="Zeeman-Effekt">Zeeman-Effekt</a>, beobachtbar.

</p><p>Die <a href="Frequenz" title="Frequenz">Frequenz</a> der Präzessionsbewegung wird <b>Larmorfrequenz</b> genannt. Bei einem geladenen Teilchen unterscheidet sich die Larmorfrequenz von der <a href="Zyklotronfrequenz" title="Zyklotronfrequenz">Zyklotronfrequenz</a> im gleichen Magnetfeld um die Hälfte des <a href="Land%C3%A9-Faktor" title="Landé-Faktor">Landé-Faktors</a>. Dies lässt sich <a href="Quantenmechanik" title="Quantenmechanik">quantenmechanisch</a> erklären.

</p><p>Wichtige Anwendungen der Larmorpräzession sind <a href="Kernspinresonanzspektroskopie" title="Kernspinresonanzspektroskopie">Kernspinresonanzspektroskopie</a> und <a href="Kernspintomographie" class="mw-redirect" title="Kernspintomographie">Kernspintomographie</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Präzession_am_Beispiel_des_schweren_Kreisels"><span id="Pr.C3.A4zession_am_Beispiel_des_schweren_Kreisels"></span>Präzession am Beispiel des schweren Kreisels</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Pr%C3%A4zession" title="Präzession">Präzession</a></i></div>

<p>Auf einen <a href="Kreisel" title="Kreisel">Kreisel</a>, der nicht in seinem Schwerpunkt gelagert ist und dessen Drehachse nicht lotrecht steht – z. B. einen Spielzeugkreisel –, wirkt die Schwerkraft mit einem <a href="Drehmoment" title="Drehmoment">Drehmoment</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {M}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {M}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b903a0e453efca49cfda6ba33edb465de21a6b1d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {M}}}" loading="lazy"></span>, das senkrecht zur Schwerkraft und zur Kreiselachse liegt. Falls der Kreisel sich nicht dreht, fällt er also um. Bei (nicht zu langsamer) Rotation hingegen verursacht das Drehmoment eine Präzessionsbewegung, die die Kreiselachse und damit den Drehimpulsvektor auf einem Kreis um das Lot herumführt. Der Anstellwinkel zur Lotrechten bleibt dabei konstant, und die Winkelgeschwindigkeit der Präzession ist für alle Anstellwinkel gleich.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Präzession_im_Magnetfeld"><span id="Pr.C3.A4zession_im_Magnetfeld"></span>Präzession im Magnetfeld</h2></div>

<p>Die Larmorpräzession beruht darauf, dass jedes geladene Teilchen mit Drehimpuls <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {J}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {J}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f64ab02528d2b80e1df79bc2a8762489a986afa8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.788ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {J}}}" loading="lazy"></span> auch einen <a href="Magnetisches_Moment" class="mw-redirect" title="Magnetisches Moment">magnetischen Dipol</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\mu }}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\mu }}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ddeda8d3995d1518e6f2d38e812641f579126be4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\mu }}}" loading="lazy"></span> darstellt. Das gilt auch für insgesamt neutrale Teilchen (z. B. <a href="Neutron" title="Neutron">Neutron</a>, neutrales <a href="Atom" title="Atom">Atom</a> mit ungerader Elektronenzahl), die aus geladenen Teilchen zusammengesetzt sind, deren magnetische Momente sich nicht zu Null addieren. In einem Magnetfeld <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {B}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {B}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/83ae7d80cab55b606de217162280b2279142bbb4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {B}}}" loading="lazy"></span> wirkt auf das Teilchen ein Drehmoment <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {M}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {M}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b903a0e453efca49cfda6ba33edb465de21a6b1d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {M}}}" loading="lazy"></span>, das den Dipol zur Feldrichtung parallel zu stellen strebt. Es ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {M}}={\vec {\mu }}\times {\vec {B}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {M}}={\vec {\mu }}\times {\vec {B}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/947d338873b955f00a07cab3d64a1c27988adbc1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.547ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {M}}={\vec {\mu }}\times {\vec {B}}}" loading="lazy"></span>.

Größe und Richtung des Dipols werden durch den Drehimpulsvektor gegeben: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\mu }}=\gamma {\vec {J}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\mu }}=\gamma {\vec {J}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6c5b012b4b028718c00c34bddbe72555fcfbf6d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.551ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\mu }}=\gamma {\vec {J}}}" loading="lazy"></span>. Darin ist das <a href="Gyromagnetisches_Verh%C3%A4ltnis" title="Gyromagnetisches Verhältnis">gyromagnetische Verhältnis</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma }" loading="lazy"></span> ein Faktor, der sich nach der <a href="Lande-Faktor" class="mw-redirect" title="Lande-Faktor">Landé-Formel</a> je nach Teilchenart für jedes Energieniveau mit gegebenem Bahn- und Gesamtdrehimpuls berechnen lässt. Aus der Bewegungsgleichung des Kreisels, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\vec {J}}}={\vec {M}}}">

<mover>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\vec {J}}}={\vec {M}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f70783c41dc2c42d2c364adc43022b02395a3af0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.329ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\vec {J}}}={\vec {M}}}" loading="lazy"></span>, folgt die Präzession mit der Larmorfrequenz <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{\mathrm {Larmor} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{\mathrm {Larmor} }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/97531c2efe58a6624e256b6f84f4b8bd79903b05.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.701ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{\mathrm {Larmor} }}" loading="lazy"></span>. Diese ist zu <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma }" loading="lazy"></span> und zur <a href="Magnetische_Flussdichte" title="Magnetische Flussdichte">Flussdichte</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"></span> des Magnetfeldes proportional

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{\mathrm {Larmor} }={\frac {\gamma }{2\pi }}\cdot B}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/069ce42b57b698636b2005140dc433dba2d59f09.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:16.573ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle f_{\mathrm {Larmor} }={\frac {\gamma }{2\pi }}\cdot B}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>bzw. als Kreisfrequenz (mit dem <a href="Land%C3%A9-Faktor" title="Landé-Faktor">Landé-Faktor</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{J}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{J}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/77d9d7620f20fee31e73df3ac4a6a7c571dea39d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.382ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g_{J}}" loading="lazy"></span>, der <a href="Elektrische_Ladung" title="Elektrische Ladung">Ladung</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"></span> und der Masse <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"></span> des Teilchens)

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{\mathrm {Larmor} }={2\pi }\cdot f_{\mathrm {Larmor} }=\gamma \cdot B=g_{J}\,{\frac {q}{2\,m}}\cdot B\ .}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3e808285507dea56075009c64e46673c70d39e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:43.748ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \omega _{\mathrm {Larmor} }={2\pi }\cdot f_{\mathrm {Larmor} }=\gamma \cdot B=g_{J}\,{\frac {q}{2\,m}}\cdot B\ .}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Makroskopischer_Effekt">Makroskopischer Effekt</h2></div>

<p>Die obige Beschreibung gilt gleichermaßen in der klassischen wie in der Quantenphysik. Hat man z. B. einen Wassertropfen durch ein starkes Magnetfeld etwas magnetisiert, bilden die dabei (teilweise) ausgerichteten magnetischen Momente der <a href="Proton" title="Proton">Protonen</a> (<a href="Atomkern" title="Atomkern">Atomkerne</a> des <a href="Wasserstoff" title="Wasserstoff">Wasserstoffs</a>) zusammen einen schwachen makroskopischen Dipolmagneten, der über denselben gyromagnetischen Faktor mit einem kleinen Gesamtdrehimpuls verbunden ist. Wenn das Magnetfeld genügend rasch durch eines in einer anderen Richtung ersetzt wird, hält dieser Dipolmagnet noch kurze Zeit seine ursprünglichen Ausrichtung bei und vollführt die Larmor-Präzession. Dabei erzeugt er in einer <a href="Antennentechnik" class="mw-redirect" title="Antennentechnik">Antennenspule</a> eine leicht beobachtbare induzierte <a href="Wechselspannung" title="Wechselspannung">Wechselspannung</a>, deren Frequenz die Larmorfrequenz ist. Die Amplitude der Wechselspannung nimmt in dem Maß ab, wie sich die senkrecht zur Feldrichtung liegende Stärke des rotierenden Dipols verringert, weil sich die makroskopische Magnetisierung an die neue Feldrichtung anpasst (longitudinale <a href="Relaxation_(NMR)" title="Relaxation (NMR)">Relaxation</a>), und weil die einzelnen Protonen aufgrund kleiner Störungen aus dem Takt geraten (transversale Relaxation). Sowohl die genaue Vermessung der Frequenz als auch die Beobachtung der Relaxation gehören in der <a href="Materialforschung" class="mw-redirect" title="Materialforschung">Materialforschung</a> zu den wichtigsten Hilfsmitteln bei der Erforschung der Strukturen und Reaktionen. In der Geophysik wird dies Verfahren im <a href="Protonenmagnetometer" title="Protonenmagnetometer">Protonenmagnetometer</a> angewandt, um das Magnetfeld der Erde und seine Störungen genau zu vermessen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Quantenmechanische_Beschreibung">Quantenmechanische Beschreibung</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zeeman-Effekt">Zeeman-Effekt</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Zeeman-Effekt" title="Zeeman-Effekt">Zeeman-Effekt</a></i></div>

<p>Quantenmechanisch bewirkt das magnetische Moment im Magnetfeld eine Aufspaltung des <a href="Energieniveau" title="Energieniveau">Energieniveaus</a> mit der <a href="Drehimpulsquantenzahl" class="mw-redirect" title="Drehimpulsquantenzahl">Drehimpulsquantenzahl</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/359e4f407b49910e02c27c2f52e87a36cd74c053.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.471ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle J}" loading="lazy"></span> in äquidistante Niveaus zu den <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (2J{\mathord {+}}1)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (2J{\mathord {+}}1)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/878188ba47a1c2613604350e9027b558dc20485b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.414ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (2J{\mathord {+}}1)}" loading="lazy"></span> verschiedenen möglichen magnetischen Quantenzahlen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{J}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{J}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d8a1a938a9576ce2892e845ed0de74db83c7ef9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.313ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{J}}" loading="lazy"></span>. Der Niveauabstand ist immer <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta E=\hbar \omega _{\mathrm {Larmor} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta E=\hbar \omega _{\mathrm {Larmor} }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7fc1a4dcaf03177b2bafbe9e28aeeafa16c6cf22.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.124ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta E=\hbar \omega _{\mathrm {Larmor} }}" loading="lazy"></span> (darin ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \hbar }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hbar }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de68de3a92517953436c93b5a76461d49160cc41.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.306ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \hbar }" loading="lazy"></span> die <a href="Reduzierte_Planck-Konstante" class="mw-redirect" title="Reduzierte Planck-Konstante">reduzierte Planck-Konstante</a>). Diese Aufspaltung wurde 1896 an optischen Spektrallinien erstmals beobachtet und war einer der ersten Zugänge zum Studium der Vorgänge in den Atomen und damit zur Entwicklung der Quantenmechanik.

</p><p>In Formeln: Aus dem o.a. Drehmoment <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {M}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {M}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b903a0e453efca49cfda6ba33edb465de21a6b1d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {M}}}" loading="lazy"></span> ergibt sich, dass das Teilchen im Magnetfeld eine Zusatzenergie

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\mathrm {mag} }=-\mu \cdot B\cdot \cos \theta \equiv -\mu _{z}\cdot B\equiv -\gamma J_{z}B}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/df895581b8d4b6c3e87ee021a6e9deb5d0e73ba6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:41.957ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E_{\mathrm {mag} }=-\mu \cdot B\cdot \cos \theta \equiv -\mu _{z}\cdot B\equiv -\gamma J_{z}B}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>hat, wobei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu _{z}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu _{z}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/76cfce8f8a4701b06f8fb4e19d1c2ea618fc9a5d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.403ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu _{z}}" loading="lazy"></span> die zu <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {B}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {B}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/83ae7d80cab55b606de217162280b2279142bbb4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {B}}}" loading="lazy"></span> parallele Komponente des Vektors <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\mu }}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\mu }}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ddeda8d3995d1518e6f2d38e812641f579126be4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\mu }}}" loading="lazy"></span> ist und die Feldrichtung als z-Achse gewählt wurde. Da zu <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J_{z}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{z}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5e4fc97aafeb0dc8febc33638f7644e68c2f68ac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.292ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle J_{z}}" loading="lazy"></span> die Quantenzahlen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{J}=-J,-(J-1),\dots ,J}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{J}=-J,-(J-1),\dots ,J}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8c2ff6af2595c8e6fe2e88a7c0d8a078341bb017.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.466ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle m_{J}=-J,-(J-1),\dots ,J}" loading="lazy"></span> gehören (s. <a href="Richtungsquantelung" title="Richtungsquantelung">Richtungsquantelung</a>), spaltet das Niveau in ebenso viele <i>Zeeman-Niveaus</i> auf. Ihre Energien sind

</p>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{m_{J}}=-\gamma \hbar m_{J}B\ .}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5bf9e0a44f1b16e9c615afa6702e55e6c278fa2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:18.179ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E_{m_{J}}=-\gamma \hbar m_{J}B\ .}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Präzessionsbewegung"><span id="Pr.C3.A4zessionsbewegung"></span>Präzessionsbewegung</h3></div>

<p>An einem einzelnen Zeeman-Zustand kann man nach der Quantenmechanik keine Bewegung ablesen, weder die Rotation um die Kreiselachse noch die Präzession der Kreiselachse um die <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy"></span>-Achse. Als <a href="Quantenmechanik#Stationäre_Zustände" title="Quantenmechanik">Eigenzustand</a> zu einer Energie <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{m}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e2d5aa67bc4c46dfb5f6a1d674998ee81063a14.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.39ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{m}}" loading="lazy"></span> ist der Zustand stationär, d. h. mit fortschreitender Zeit ändert sich nicht seine Form, sondern nur die <a href="Quantenmechanik#Stationäre_Zustände" title="Quantenmechanik">quantenmechanische Phase</a> seines Zustandsvektors mittels des Phasenfaktors <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} E_{m}t/\hbar }}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} E_{m}t/\hbar }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/579604da8c98ea5ca51de390022a1cc88f934906.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.888ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} E_{m}t/\hbar }}" loading="lazy"></span>. Zustände verschiedener Energie ändern ihre Phase verschieden schnell. Bei den je nach der magnetischen Quantenzahl <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"></span> aufgespaltenen Zeeman-Zuständen mit Energie <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{m}=-m\hbar \omega _{L}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{m}=-m\hbar \omega _{L}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7075a22e32bd1542e5e909f125c76b5319ad2734.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.441ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{m}=-m\hbar \omega _{L}}" loading="lazy"></span> ist der Phasenfaktor demnach <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,m\,\omega _{L}\,t}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,m\,\omega _{L}\,t}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fa47dc86e3e844ce1d3f602712e5f244f9948e64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.015ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,m\,\omega _{L}\,t}}" loading="lazy"></span>. Da <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m\hbar }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\hbar }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3332777b1bbe6545c0264c014184c5e65f3142db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.347ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle m\hbar }" loading="lazy"></span> gerade der Eigenwert zur <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy"></span>-Komponente des Drehimpulses des betreffenden Zeeman-Zustands ist, bedeutet dieser Phasenfaktor das gleiche wie eine Drehung um den Winkel <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi =\omega _{L}t}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi =\omega _{L}t}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/422f9a59c29c620b47888543af3b670ec878b163.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.256ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \varphi =\omega _{L}t}" loading="lazy"></span> um die z-Achse. Für einen Zeeman-Zustand allein drückt sich diese Phase bzw. Drehung in keiner beobachtbaren Tatsache aus, nur eben im nach der Quantenmechanik prinzipiell beliebigen Phasenfaktor des zugehörigen Zustandsvektors.

</p><p>Eine Dreh-<i>Bewegung</i> um die <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy"></span>-Achse kann man nur an einem Zustand beobachten, der zu jedem Moment eine gewisse Richtung quer zur <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy"></span>-Achse in messbarer Weise auszeichnet. Dazu muss er eine Überlagerung mehrerer Zeeman-Zustände sein. Welche Achse senkrecht zur <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy"></span>-Achse ausgezeichnet wird, hängt dann von der relativen Phase seiner Zeeman-Komponenten ab. Z. B. kann ein Teilchen mit Spin <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/edef8290613648790a8ac1a95c2fb7c3972aea2f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:1.658ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}" loading="lazy"></span> die Zeeman-Zustände <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |m\mathbin {=} {\mathord {+}}{\tfrac {1}{2}}\rangle }">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |m\mathbin {=} {\mathord {+}}{\tfrac {1}{2}}\rangle }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/307ecbe2e42384c4c85496b52d487c20c36cde45.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:9.899ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle |m\mathbin {=} {\mathord {+}}{\tfrac {1}{2}}\rangle }" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |m\mathbin {=} {\mathord {-}}{\tfrac {1}{2}}\rangle }">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |m\mathbin {=} {\mathord {-}}{\tfrac {1}{2}}\rangle }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1b9911f8f101e99e03a3aa7ec53db2a91564223f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:9.899ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle |m\mathbin {=} {\mathord {-}}{\tfrac {1}{2}}\rangle }" loading="lazy"></span> haben, und der zur <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2112b13188089a9983fb5b92fd192b21772d0dcc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:3.138ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle +x}" loading="lazy"></span>-Achse ausgerichtete Zustand ist durch die Überlagerung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(|{\mathord {+}}{\tfrac {1}{2}}\rangle +|{\mathord {-}}{\tfrac {1}{2}}\rangle \right)}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(|{\mathord {+}}{\tfrac {1}{2}}\rangle +|{\mathord {-}}{\tfrac {1}{2}}\rangle \right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aec302fa611327980498d73c0ae5b88ebac1e811.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:15.006ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \left(|{\mathord {+}}{\tfrac {1}{2}}\rangle +|{\mathord {-}}{\tfrac {1}{2}}\rangle \right)}" loading="lazy"></span> gegeben (bis auf einen gemeinsamen Faktor, siehe auch <a href="Spin#Spin_½_und_dreidimensionaler_Vektor" title="Spin">Eigenschaften des Spin</a>). Wenn sich die Phasen beider Komponenten aber aus irgendeinem Grund um 90° auseinanderentwickelt haben, heißt der Zustand (bis auf einen gemeinsamen Faktor) <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(|{\mathord {+}}{\tfrac {1}{2}}\rangle +i|{\mathord {-}}{\tfrac {1}{2}}\rangle \right)}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(|{\mathord {+}}{\tfrac {1}{2}}\rangle +i|{\mathord {-}}{\tfrac {1}{2}}\rangle \right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5f511aad4bd199f1a4703c6443557ca442ddfbbe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:15.808ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \left(|{\mathord {+}}{\tfrac {1}{2}}\rangle +i|{\mathord {-}}{\tfrac {1}{2}}\rangle \right)}" loading="lazy"></span> und hat den Spin nach der <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +y}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/05c6eafa49a9bcc5f53484e1e9e6f8a182c00aed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.964ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle +y}" loading="lazy"></span>-Achse hin ausgerichtet. Nach weiteren 90° Phasendifferenz heißt der Zustand <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(|{\mathord {+}}{\tfrac {1}{2}}\rangle -|{\mathord {-}}{\tfrac {1}{2}}\rangle \right)}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(|{\mathord {+}}{\tfrac {1}{2}}\rangle -|{\mathord {-}}{\tfrac {1}{2}}\rangle \right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/407e7aefda3551269c929bc435910b94f43a42f7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:15.006ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \left(|{\mathord {+}}{\tfrac {1}{2}}\rangle -|{\mathord {-}}{\tfrac {1}{2}}\rangle \right)}" loading="lazy"></span> und ist nach <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ae55e66aeffc525917eed885b4b753ba5a7f8b3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:3.138ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle -x}" loading="lazy"></span> ausgerichtet usw.

</p><p>Da sich mit fortschreitender Zeit die einzelnen Zustandsvektoren gerade so verändern, als ob sie alle um den gleichen Winkel <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi =\omega _{L}t}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi =\omega _{L}t}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/422f9a59c29c620b47888543af3b670ec878b163.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.256ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \varphi =\omega _{L}t}" loading="lazy"></span> um die <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy"></span>-Achse gedreht worden wären, beschreibt dieselbe Überlagerung nun einen Zustand, der wirklich diese Drehung ausgeführt hat. Zeigte er am Anfang eine Polarisation, die nicht parallel zur <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy"></span>-Achse lag, dann zeigt er später dieselbe Form und Stärke der Polarisation, aber in einer entsprechend gedrehten Richtung.

</p><p>Mit anderen Worten: Das beschriebene System rotiert ganz mit der Winkelgeschwindigkeit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{L}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{L}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7284e7df80758a0946c74413f95c81c1750c755c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.797ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{L}}" loading="lazy"></span>, in völliger Übereinstimmung mit der Anschauung. Hier wird deutlich, dass die Energieaufspaltung der Drehimpulseigenzustände wie im Zeeman-Effekt eine so einfache räumliche Veranschaulichung erlaubt, weil sie äquidistant ist. Eine Aufspaltung proportional zum Quadrat der magnetischen Quantenzahl, wie z. B. durch die Wechselwirkung des elektrischen <a href="Quadrupolmoment" class="mw-redirect" title="Quadrupolmoment">Quadrupolmoments</a> mit einem inhomogenen elektrischen Feld, lässt sich so nicht interpretieren.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Auswirkung_bei_polarisierten_Teilchenstrahlen">Auswirkung bei polarisierten Teilchenstrahlen</h2></div>

<p>Die Larmorpräzession kann sich beim Arbeiten mit einem <a href="Spinpolarisation" title="Spinpolarisation">spinpolarisierten</a> Ionenstrahl störend bemerkbar machen, wenn der Strahl Materie – etwa eine Folie oder ein Gas – durchquert. Fängt ein Ion dabei ein Elektron ein, präzediert der Spinvektor dieses Ions anschließend um die (zufällige) Richtung des viel größeren magnetischen Moments des Elektrons, so dass die Polarisation des Strahls sich verringert.

</p><p>Im Fall einer Folie, hinter der Vakuum herrscht, kann das eingefangene Elektron dauerhaft gebunden bleiben; dann haben nach einer Periode der Präzession alle Ionenspins wieder ihre ursprünglichen Richtungen, und die Polarisation ist zum anfänglichen Wert zurückgekehrt. Falls die Geschwindigkeit der Ionen einer gut messbaren Wegstrecke pro Larmor-Umlauf entspricht, kann daher entlang des Strahlweges eine sinusförmig ab- und zunehmende Polarisation gemessen werden. Dies wurde in einem Experiment mit polarisierten Deuteronen von etwa 160 <a href="Elektronenvolt" title="Elektronenvolt">keV</a> augenfällig demonstriert.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Magnetische_Resonanz">Magnetische Resonanz</h2></div>

<p>Durch Einstrahlen eines magnetischen Wechselfelds werden Übergänge zwischen den im Zeeman-Effekt aufgespaltenen Niveaus angeregt, wenn die Frequenz des Wechselfelds mit der Larmorfrequenz übereinstimmt (<a href="Resonanz" title="Resonanz">Resonanz</a>). Mit Variieren der Frequenz entsteht ein <a href="Absorption_(Physik)" title="Absorption (Physik)">Absorptionsspektrum</a> mit einer sichtbaren Absorptionslinie. Diese Methode heißt je nach beobachtetem Objekt <a href="Elektronenspinresonanz" title="Elektronenspinresonanz">Elektronenspinresonanz</a> oder <a href="Kernspinresonanz" title="Kernspinresonanz">Kernspinresonanz</a> und erlaubt Messungen extremer Genauigkeit. Z. B. wird bei der Kernspinresonanz der Einfluss der chemischen Bindung des Atoms und seiner weiteren Umgebung messbar, weil sie das am Kern wirkende Magnetfeld um Millionstelbruchteile verändert (<a href="Chemische_Verschiebung" title="Chemische Verschiebung">chemische Verschiebung</a>).

</p><p>Auch diese Absorption von Energie kann makroskopisch verstanden werden, denn ein linear polarisiertes Wechselfeld enthält einen zirkular polarisierten Anteil, der bei der richtigen Frequenz auf den präzedierenden Dipol ein (in seinem Ruhesystem) konstantes Moment ausübt. Hat es die Richtung, „als ob es die Präzession beschleunigen wollte“, wird dem Kreisel dabei Energie zugeführt. Die kann er aber nicht in Gestalt einer schnelleren Präzession speichern, denn die Larmorfrequenz liegt fest. Stattdessen nimmt der Kreisel die Energie – klassisch anschaulich ausgedrückt – durch Vergrößerung des Einstellwinkels (weg vom konstanten Feld <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {B}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {B}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/83ae7d80cab55b606de217162280b2279142bbb4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {B}}}" loading="lazy"></span>) auf, quantenmechanisch ausgedrückt durch entsprechend anwachsende Beimischung von Zeemanzuständen geringerer m-Quantenzahl. An einem großen Spielzeugkreisel, der im Schwerefeld präzediert, kann man das klassische Verhalten direkt beobachten, wenn man mit dem Finger versucht, die Präzession zu beschleunigen (oder zu verlangsamen).

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://nmrservice.ethz.ch/">ETH Zurich – NMR Service Center</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Gerthsen, Kneser, Vogel: <i>Physik</i>. 13. Auflage, Springer 1977, ISBN 978-3-662-09311-5, Seite 478</li>

<li>W. Zinth, H.-J. Körner: <i>Optik, Quantenphänomene und Aufbau der Atome.</i> Oldenbourg Verlag 1998, ISBN 3-486-24054-4, Seite 256</li>

<li><i>13C-NMR-Spektroskopie</i>, H.-O. Kalinowski, S. Berger, S. Braun; Georg Thieme Verlag</li>

<li><i>13C-NMR-Spektroskopie</i>, <a href="Eberhard_Breitmaier" title="Eberhard Breitmaier">E. Breitmaier</a>, G. Braun; Georg Thieme Verlag (ein Übungsbuch)</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">W. W. Lindstrom, R. Garrett, U. von Möllendorff: Depolarisation of low-energy deuterons by electron pick-up. <i>Nuclear Instruments and Methods</i> Band 93 (1971) S. 385</span>

</li>

</ol>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4605992-1">4605992-1</a></span> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-03-18" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Larmorpr%C3%A4zession&oldid=254321417">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

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